Март 5

О многокритериальной оптимизации в R

Многокритериальная оптимизация является достаточно интересной темой исследования, часто встречается в жизни и, в большинстве случае, не имеет единственного “верного” решения, поскольку количество возможных решений при заданных ограничениях почти всегда отлично от единственного.

Рассмотрим задачу. Рекламное агентство, в штате которого десять человек получило заказ на рекламу нового продукта на радио и телевидении. Данные о рекламной аудитории, стоимости рекламы и количестве занятых при её изготовлении агентов заданы в таблице.

Характеристики Радио Телевидение
Рекламная аудитория (млн. чел) 4 8
Стоимость минуты рекламы ( в тыс. у.е.) 8 24
Количество занятых агентов 1 2

Сколько минут рекламного времени должно купить агентство на радио и ТВ, чтобы максимизировать аудитоию и минимизировать издержки, если контракт запрещает более 6 минут на радио?

Имеем следующую задачу:

$$\left\{ {\begin{array} {} {{u_1} = 4{x_1} + 8{x_2} \to \max }\\ {{u_2} = 8{x_1} + 24{x_2} \to \min }\\ {{x_1} \le 6}\\ {{x_1} + 2{x_2} \le 10}\\ {{x_1} \ge 0;\;{x_2} \ge 0} \end{array}} \right.$$

Если решать задачу только на максимум, то имеем классическую задачу линейного программирования, которая решается следующим образом (предполагается, что библиотека lpSolve установлена).

library(lpSolve) 
f.obj <- c(4, 8) # Описали целевую функцию
names(f.obj) <-c("X1","X2")
a.mat<-rbind(c(1,0), # матрица
             c(1,2),   # коээфициентов
             c(1,0),    # при ограничениях
             c(0,1))   
a.dir<-c("<=","<=",">=",">=")
b.vec<-c(6,10,0,0) # вектор ограничений
(result<-lp ("max", f.obj, a.mat, a.dir, b.vec))
## Success: the objective function is 40
result$solution
## [1] 0 5

Если решать эту же задачу только на минимум:

library(lpSolve) 
f.obj <- c(4, 24) # Описали целевую функцию
names(f.obj) <- c("X1","X2")
a.mat <- rbind(c(1,0), # матрица
             c(1,2),   # коээфициентов
             c(1,0),    # при ограничениях
             c(0,1))   
a.dir <- c("<=","<=",">=",">=")
b.vec <- c(6,10,0,0) # вектор ограничений
(result <- lp ("min", f.obj, a.mat, a.dir, b.vec))
## Success: the objective function is 0
result$solution
## [1] 0 0

Графически задача может быть представлена следующим образом

x1 <- (-10:100)/10
old <- par(mar=c(1,1,1,1))
plot(0,type="n",xlab="",ylab="", xlim=c(-1, 10),ylim = c(-1, 10),bty="n",xaxt="n",yaxt="n")
grid()
polygon(c(0,0,6,6),c(0,5,2,0), col = "lightblue", border = NA)
axis(1,pos=c(0,0),at=c(-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9))
axis(2,pos=c(0,0),las=2,at=c(-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9))
arrows(-1.2,0,10.1,0,angle=15)
arrows(0,-1.2,0,10.1,angle=15)
lines(x1,(10-x1)/2,col="blue")
text(4,4,expression(х[1]+2*х[2]==10),cex=0.8,col="blue")
abline(v=6)
text(0.5,10,expression(х[2]))
text(10,-0.5,expression(х[1]))
points(0,0,cex=1.5,col="red",pch=19)
points(0,5,cex=1.5,col="red",pch=19)

gr1-1

par(old)

Множество всех решений может быть представлено:

x1<-seq(0,6,by=0.1)
x2<-seq(0,6,by=0.1)
d<-expand.grid(x1=x1,x2=x2)
d<-subset(d,x1+2*x2<=10)
d$u1<-4*d$x1+8*d$x2
d$u2<-8*d$x1+24*d$x2
plot(d$u2~d$u1,type="p",pch=19,col="blue",main="Множество решений",xlab=expression(u[1]),ylab=expression(u[2]),cex=0.8)
points(0,0,cex=1.5,col="red",pch=19)
points(40,120,cex=1.5,col="red",pch=19)
points(20,50,cex=1,col="yellow",pch=19)
text(21,55,"A",col="yellow")
points(23,53,cex=1,col="yellow",pch=19)
text(24,55,"B",col="yellow")

points(20,40,cex=1,col="green",pch=19)
text(21,36,"C")

gr2-1

Где u1 – аудитория в миллионах человек (эффективность), а u2 – стоимость рекламы. Рассмотрим решения А (20,50) и B(23,53). Вариант A имеет меньшую стоимость , но вариант B более эффективен. В таком случае можно говорить, что варианты несравнимы. Рассмотрим точку C(20,40). Как видим, при той же аудитории стоимость данного решения меньше.

Найдем множество всех таких точек и построим на графике.

plot(d$u2~d$u1,type="p",pch=19,col="lightblue",main="Множество решений",xlab=expression(u[1]),ylab=expression(u[2]),cex=0.8)
z <- aggregate(u1~u2,data=d,max)
z <- aggregate(u2~u1,data=z,min)
lines(z$u2~z$u1,col="blue",lwd=2)

gr3-1

Данная линия называется Парето-оптимальными вариантами.

Метод идеальной точки

Метод идеальной точки (Метод Салуквадзе) состоит из двух этапов. На первом этапе находим наилучшее значение по всем критериям.

(u1<-max(d$u1))
## [1] 40
(u2<-min(d$u2))
## [1] 0
plot(d$u2~d$u1,type="p",pch=19,col="lightblue",main="Множество решений",xlab=expression(u[1]),ylab=expression(u[2]),cex=0.8)
points(u1,u2,pch=19,col="red")

unnamed-chunk-3-1

Данная точка u0 не принадлежит области допустимых решений. На втором этапе найдем решение, как точку, ближайшую к данной:

\[R(u(x),{u^0}) \to \min ,\;x \in X\]

где R– расстояние от u(X) до u0. В качестве R можно выбрать функцию:

\[{\left( {\sum\limits_{i = 1}^M {{{(u_i^0 – {u_i}(x))}^l}} } \right)^{\frac{1}{l}}}\]

Произведем необходимые расчеты:

d.new<-d
l<-2
d.new$s<-((u1-d.new$u1)^l+(u2-d.new$u2)^l)^(1/l)
(u.opt<-d.new[which.min( d.new$s),])
##    x1 x2 u1 u2        s
## 21  2  0  8 16 35.77709

Построим график

plot(d$u2~d$u1,type="p",pch=19,col="lightblue",main="Множество решений",xlab=expression(u[1]),ylab=expression(u[2]),cex=0.8)
points(u1,u2,pch=19,col="red")
arrows(u1,u2,u.opt$u1,u.opt$u2)
text(u.opt$u1+2,u.opt$u2+5,paste0("U(",u.opt$u1,";",u.opt$u2,")"))

unnamed-chunk-5-1-1

Метод лексико-графического упорядочивания

На основании опроса ЛПР критерии ранжируются по важности. Предположим, что первым критерием мы выбираем охват аудитории. Тогда имеем множество возможных решений при максимальном критерии u1

(z<-max(d$u1))
## [1] 40
head(d.new<-subset(d,u1==z))
##       x1  x2 u1    u2
## 1281 6.0 2.0 40  96.0
## 1340 5.8 2.1 40  96.8
## 1399 5.6 2.2 40  97.6
## 1458 5.4 2.3 40  98.4
## 1517 5.2 2.4 40  99.2
## 1576 5.0 2.5 40 100.0

Находим наилучшее значение по второму критерию:

(u.opt<-d.new[which.min( d.new$u2),])
##      x1 x2 u1 u2
## 1281  6  2 40 96

Представим графически:

plot(d$u2~d$u1,type="p",pch=19,col="lightblue",main="Множество решений",xlab=expression(u[1]),ylab=expression(u[2]),cex=0.8)
lines(d.new$u1,d.new$u2,col="blue",lwd=2)
points(u.opt$u1,u.opt$u2,pch=19,col="red",cex=1.5)
text(u.opt$u1-3,u.opt$u2-5,paste0("U(",u.opt$u1,";",u.opt$u2,")"))

unnamed-chunk-8-1

Метод линейной свертки

ЛПР задает значение весов критериев и решается задача максимизации критерия. Поскольку предполагается, что оба критерия должны быть максимизируемы, критерий u2 возьмем со знакоми минус. Пусть веса критериев равны 0.8 и 0.2, тогда:

d.new<-d
d.new$s<-d.new$u1*0.8-d.new$u2*0.2
head(d.new)
##    x1 x2  u1  u2    s
## 1 0.0  0 0.0 0.0 0.00
## 2 0.1  0 0.4 0.8 0.16
## 3 0.2  0 0.8 1.6 0.32
## 4 0.3  0 1.2 2.4 0.48
## 5 0.4  0 1.6 3.2 0.64
## 6 0.5  0 2.0 4.0 0.80
tail(d.new)
##       x1  x2   u1    u2    s
## 2931 0.2 4.8 39.2 116.8 8.00
## 2932 0.3 4.8 39.6 117.6 8.16
## 2990 0.0 4.9 39.2 117.6 7.84
## 2991 0.1 4.9 39.6 118.4 8.00
## 2992 0.2 4.9 40.0 119.2 8.16
## 3051 0.0 5.0 40.0 120.0 8.00
subset(d.new,s==max(d.new$s))
##      x1 x2 u1 u2    s
## 1281  6  2 40 96 12.8

Пусть веса критериев равны

d.new<-d
d.new$s<-d.new$u1*0.5-d.new$u2*0.5
head(d.new)
##    x1 x2  u1  u2    s
## 1 0.0  0 0.0 0.0  0.0
## 2 0.1  0 0.4 0.8 -0.2
## 3 0.2  0 0.8 1.6 -0.4
## 4 0.3  0 1.2 2.4 -0.6
## 5 0.4  0 1.6 3.2 -0.8
## 6 0.5  0 2.0 4.0 -1.0
tail(d.new)
##       x1  x2   u1    u2     s
## 2931 0.2 4.8 39.2 116.8 -38.8
## 2932 0.3 4.8 39.6 117.6 -39.0
## 2990 0.0 4.9 39.2 117.6 -39.2
## 2991 0.1 4.9 39.6 118.4 -39.4
## 2992 0.2 4.9 40.0 119.2 -39.6
## 3051 0.0 5.0 40.0 120.0 -40.0
subset(d.new,s==max(d.new$s))
##   x1 x2 u1 u2 s
## 1  0  0  0  0 0

Нетрудно увидеть, что фактически в данном случае мы сводим задачу к задаче линейного программирования. Пусть k1 и k2 весовые коэффициенты, тогда имеем.

\[{k_1}{u_1}-{k_2}{u_2}\to \max\]

Откуда:

$${k_1}(4{x_1} + 8{x_2})-{k_2}(8{x_1} + 24{x_2})=(4 k_1-8 k_2 )x_1+(8 k_1 – 24 k_2) x_2 \to \max$$

при тех же ограничениях

$$\left\{ {\begin{array} {} {{x_1} \le 6}\\ {{x_1} + 2{x_2} \le 10}\\ {{x_1} \ge 0;\;{x_2} \ge 0} \end{array}} \right.$$

k1<-0.8
k2<-0.2
f.obj <- c(4*k1-8*k2, 8*k1-24*k2) # Описали целевую функцию
names(f.obj) <-c("X1","X2")
a.mat<-rbind(c(1,0), # матрица
             c(1,2),   # коээфициентов
             c(1,0),    # при ограничениях
             c(0,1))   
a.dir<-c("<=","<=",">=",">=")
b.vec<-c(6,10,0,0) # вектор ограничений
(result<-lp ("max", f.obj, a.mat, a.dir, b.vec))
## Success: the objective function is 12.8
result$solution
## [1] 6 2

Результаты аналогичны вышеприведенному примеру.




Опубликовано 05.03.2016 Тушавин В.А. в категории "Изучаем R и RStudio", "Прикладные методы оптимизации